仁(nucleolus) †コアは空になったり、かなり大きな集合になったりする。その理由を考えてみる。コアの条件は任意の提携Sについて、 提携Sの不満 = v(s) - \sum_{i \in S} x_i \le 0 である。不満が「0よりも小さい」とコアは大きくなりやすい。逆に、不満が「0より大きい」と、コアは空集合となりやすい。 ここで、0かどうかで考えるのをやめてみる。代わりに、「不満をできるだけ小さく」してみる。言い換えると、不満をなくす(0にする)のが無理なら、不満があるのは仕方ないってことでそれを減らすよう努力する。また、不満を誰も(正確にはどの提携も)持っていなくても、できるだけみんなの厚生を改善していこう、というように変えてみる。 「不満をできるだけ小さくする」ためにどのような方法で行うか?これについては以下のような手順で行う。
提携の数は有限(プレイヤー数が有限(n)なので提携の数も有限(2^n-1)*1)なので、このような手順によってただ一つの配分ができる。これを「仁(nucleolus)」と言う。 計算例 †仁の特徴 †これまでの話から、仁は以下の特徴を持つことがわかる。
さらに、以下のようなことが言える。 上の手順1で得られる集合は「最小コア」と呼ばれ、(コアが非空なら)最小コアはコアに含まれる。上の手順から仁は最小コアに含まれることがわかる。そこから、以下のことが言える。
問題点*2 †
一人当たり不満=(提携Sの不満)÷(提携Sに属するプレイヤー数) そして、これを最小化する「一人当たり仁(per capita nucleolus)」を考えれば上の問題は解決。さらに、これもcore selection(コア内の1点を指定している)になっている。
例は省略。 これも一人当たり仁では発生しない。
定理 プレイヤー数が9以上とする。このとき core selection かつ coalitionally monotonic であるような value operator は存在しない。 value operator とは仁や一人当たり仁のように全員提携の利得を各プレイヤーに分ける方法のこと。また、 coalitionally monotonic であるとは、ある提携のみ利得が増加した時にその提携に属するプレイヤーには多くが分けられるようになる、ということである。 つまり、仁や一人当たり仁のような分け方では、有利な状況になった(属する提携の利得が多くなれば分け前が多くなると予想される)のに少なく配分されてしまう人が出てくる、ということである(仁も一人当たり仁も core selection であるのでこの欠点を持つ)。 この他に、一人当たり仁では「縮小ゲーム整合性」*3(reduced-game property)という性質も満たさない(以下の例を解決するためにこの縮小ゲーム整合性が使われている)。 タルムードと破産ゲーム*4 †約2000年前のユダヤ教の法典タルムード(Wikipediaの解説)には以下のような財産分与についての記述がある。
100万円の場合には均等割、300万円の場合には比例割であるが、200万円の場合にはどちらでもない。さて、これをうまく説明する方法はあるだろうか? タルムードの元になったミシュナ(口伝を書き起こした文書群)に以下の記述がある。
この文章を解釈してみると、次のようになる。まず、争うことなく各人が得られる分を考えてみると、Bさんが半分を要求していることからAさんは半分を確実にもらえるだろう。一方、BさんはAさんが全部を要求している以上、確実にもらえる分はない(0を受け取ることができる)。2人が確実にもらえる分を除くと、残りは2分の1である。この残り2分の1を2人で折半すると Aさんの取り分=2分の1+(2分の1)÷2=4分の3 Bさんの取り分=0+(2分の1)÷2=4分の1 となる。このように、それぞれの確実な受け取り分を除いて残りを折半することを「CG(contested garment)原理」と呼ぶ。 CG原理は2人での分け方を記述しているが、3人での分け方もこれに倣うことにしよう。つまり、3人で分け方が以下を満たすようにする。
このような分け方を「CG整合解」と呼ぶ。上の表による分け方はCG整合解となっている。また、この分け方は仁にもなっている。 実は、これが一般的な破産ゲームにおいて成り立つ。具体的には、CG整合解はただ一つ存在して仁と一致することが言える。 |